Loi Normale

Reprendre fichier tips.csv :

• Format Excel
• Format Libre Office
• Format Numbers

1ère étape :

• Calculer moyenne et écart-type de total_bill (colonne A:A) dans les cellules M2 et M3 (par exemple)
• Calculer les bornes d’un intervalle basé sur la moyenne \(+\) ou \(-\) 2 \(\times\) l’écart-type, en écrivant dans les cellules M5 et M6 les formules suivantes : =M2-2*M3 et =M2+2*M3
• Creér une colonne indiquant si la valeur de total_bill est dans cet intervalle (en indiquant OUI et NON par exemple), en écrivant dans la cellule H2 la formule

=SI(A2>$M$5;SI(A2<$M$6;"OUI";"NON");"NON")

• Dupliquer la formule pour toutes les lignes
• Calculer la répartition des réponses de la colonne H
  • Avec un tableau croisé dynamique par exemple

On trouve qu’environ 95% des valeurs sont dans l’intervalle et donc 5% en dehors

2ème étape :

• Dans une nouvelle feuille, créer une liste de valeur allant de -5 à 5 par pas de \(0.25\) à partir de la cellule A2 (et en-dessous)
• Ecrire Densité et Répartition sur la première ligne
• Ecrire dans B2 la formule =LOI.NORMALE(A2;0;1;0)
  • Ceci calcule la densité de probabilité d’une loi normale \(N(0,1)\) pour la valeur dans A2
• Ecrire dans C2 la formule =LOI.NORMALE(A2;0;1;1)
  • Ici, nous avons la fonction de répartition de la même loi normale
• Dupliquer les formules pour toutes les valeurs de la colonne A
• Sélectionner les 3 colonnes et ajouter un graphique
  • Choisir XY (dispersion) avec que les lignes

Nous retrouvons la forme de la loi normale vue en cours

3ème étape :

• Repérer la ligne 14, pour laquelle la valeur dans la colonne A est égale à -2
  • La valeur de la colonne C est la valeur de la fonction de répartition, i.e. \(P(X < -2)\)
  • C’est-à-dire la probabilité qu’une valeur issue d’une loi normale \(N(0;1)\) soit inférieure à 2
  • On a donc environ 2,2% de chance qu’une valeur soit inférieure à -2
• Idem ligne 30 correspondant à 2
  • On a donc environ 97,7% de chance qu’une valeur soit inféreure à 2

Je peux en conclure que j’ai 95,5% environ de chance d’avoir une valeur comprise entre -2 et 2

4ème étape :

• Dans une nouvelle feuille, créer une liste de valeurs : \(0.025\), \(0.05\), \(0.10\), \(0.9\), \(0.95\) et \(0.975\)
• Ecrire Valeur
• Dans B2, écrire la formule =LOI.NORMALE.INVERSE(A2;0;1)
  • Ceci calcule la valeur x pour laquelle \(P(X < x) = 0.025\)
• Dupliquer les formules pour toutes les valeurs de la colonne A
  • Il est normal que cela ne fonctionne pas pour 0 et 1
• Repérer la ligne 3, pour laquelle on a \(0.025\)
  • Ceci indique qu’il y a \(2.5\) % de chance d’avoir une valeur inférieure à \(1.96\) pour une loi normale \(N(0,1)\)
• Idem ligne 7, pour laquelle on a \(0.975\)
  • nous avons la même valeur, \(1.96\)

Ceci implique qu’il y a 95% de chances d’avoir une valeur entre -1,96 et 1,96 pour une loi normale \(N(0,1)\)

5ème étape

• Dans la feuille avec les données tips, écrire dans I2 la formule suivante =(A2-moyenne)/ecart-type
• Calculer le nombre de valeurs de cette colonne comprise entre \(-1.96\) et \(1.96\)
  • oin retrouve la même répartition

Si \(X\) suit une loi normale \(N(m,\sigma)\), il est possible de passer à une v.a. \(Y\) de loi normale \(N(0,1)\) en réalisant deux opérations : enlever la moyenne et diviser par l’écart-type

\[ Y = \frac{X - m}{\sigma} \]

A faire

• Calculer les bornes de l’intervalle comprenant 95% des valeurs de la colonne tip (B)
  • Regarder la répartition des valeurs dans cet intervalle et en-dehors
• Faire de même pour la variable size. Est-ce pertinent ?