Extraction de connaissances à partir de données structurées et non structurées

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.title[
# Extraction de connaissances à partir de données structurées et non structurées
]
.subtitle[
## Séance 4 : Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)
]

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##  Que veut-on faire ?

- Décrire et/ou résumer l'information contenue dans les données 
    - Sans formuler d'hypothèses au préalable 
- Tableau individu `$\times$` variable
    - On connaît : **ACP**
- Table de contingence
    - **AFC**
- Plus largement sur un tableau de nombres non négatifs

**Idée principale** : Utiliser les principes de l'ACP en utilisant une autre métrique

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## Table de contingence

Croisement de deux variables qualitatives, représentant les effectifs de chaque couple de modalité

Ici, nous représentons les passagers du Titanic répartis sur leur classe (1ère, 2nde, 3ème et équipage) et leur surie ou non (*i.e.* 178 passagers en 3ème classe ont survécu au naufrage).

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## Problème et objectifs

Visualiser les liens entre les deux variables

- Utiliser la représentation simultanée des deux variables pour analyser les liens entre les modalités des deux variables
- Détection de modalités atypiques 
- Visualiser les ressemblances entre les modalités d'une même variable

**Objectifs similaires à l'ACP**

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## Pourquoi pas une ACP directement ?

Tableau analysé :

- Individus : modalités de la variable en lignes
- Variables : madalités de la variable en colonnes

Comparaison des distributions en **fréquences absolues**

- Importance beaucoup trop importante d'une modalité très (trop) présente en lignes
- On est plutôt intéressé par les **profils**

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## Quelques notations

- `$\mathbf{X}$` et `$\mathbf{Y}$` : deux variables qualitatives à respectivement `$p$` et `$q$` modalités
- `$\mathbf{T} = (t_{ij})$`, avec `$i=1,\ldots,p$` et `$j=1,\ldots,q$` : 
    - nombre d'individus ayant la modalité `$i$` pour `$X$` et `$j$` pour `$Y$`
    - `$\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q t_{ij} = n$`
- Marge en ligne : `$(t_{i.}) = \sum_{j=1}^q t_{ij}$` (effectifs des modalités de `$X$`)
- Marge en colonne : `$(t_{.j}) = \sum_{i=1}^p t_{ij}$` (effectifs des modalités de `$Y$`)
- `$\mathbf{D}_X$` et `$\mathbf{D}_Y$` matrice diagonale contenant les marges en lignes et en colonnes sur la diagonale
- Profils lignes : `$\frac{t_{ij}}{t_{i.}} = P(Y=j | X=i)$`, donné par `$\mathbf{D}_X^{-1}\mathbf{T}$`
- Profils colonnes : `$\frac{t_{ij}}{t_{.j}} = P(X=i | Y=j)$`, donné par `$\mathbf{T}\mathbf{D}_Y^{-1}$`

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## Indépendance

Rappel de l'Indépendance : `$P(AB) = P(A)P(B)$`

`$\chi^2$` : Mesure de l'écart à l'indépendance

`$$\chi^2(X,Y)=n\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q \frac{\left( f_{ij} - f_{i.} f_{.j} \right)^2}{f_{i.} f_{.j}}$$`

- Si les variables sont indépendantes, `$\chi^2 (X,Y) = 0$`
    - cela voudra dire que `$f_{ij} = f_{i.}f_{.j}$` pour chaque couple de modalités

- On a aussi `$\chi^2(X,Y) \le n \times \mbox{inf}(p-1,q-1)$`. 
  - Si `$\chi^2(X,Y)$` est égal respectivement à `$n(p-1)$` ou `$n(q-1)$`, cela voudra dire que `$X$` (resp. `$Y$`) est fonctionnellement liée à `$Y$` (resp. `$X$`).
- Contribution d'une cellule `$ij$` : `$\frac{\left( f_{ij} - f_{i.} f_{.j} \right)^2}{f_{i.} f_{.j}}$`

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## Distance

**Idée** : Les profils lignes et les profils colonnes sont deux nuages de points sur lesquels on pourra appliquer une ACP

Distance entre 2 modalités de `$X$` :

`$$d_{\chi^2}^2(i,i')=\sum_{j=1}^q\frac{n}{t_{.j}}\left(\frac{t_{ij}}{t_{i.}}-\frac{t_{i'j}}{t_{i'.}}\right)^2$$`

Cela revient à utiliser la métrique `$n\mathbf{D}_Y^{-1}$` sur les profils lignes, ce qu'on appelle la **métrique du `$\chi^2$`**.

Idem pour les colonnes.

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## Inertie

Inertie du nuage des profils lignes, par rapport au centre de gravité de ce nuage `$g_\ell = (f_{.j})$` :

`$$I_{g_\ell} = \sum_{i=1}^p \frac{t_{i.}}{n} d_{\chi^2}^2 (i, g_\ell) = \chi^2 (X,Y)$$`

Idem pour les colonnes.

### Avantage de cette métrique

Regroupement de modalités ne modifiant pas l'inertie et donc la valeur du `$\chi^2$`, ni même les distances. C'est l'**équivalence distributionnelle**.

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## ACP sur les profils

Deux possibilités totalement symétriques :

Info | Profil lignes | Profil colonnes
-|-|-
Données `$Z$`					| `$D_X^{-1}T$`      | `$D_Y^{-1}T'$`
Métrique `$M$`				| `$nD_Y^{-1}$`      | `$nD_X^{-1}$`
Poids `$D$`						| `$D_X/n$`          | `$D_Y/n$`
Centre 							| `$Z'D1$`            
Variance-covariance | `$V = Z'DZ - gg'$`

- Calcul **identiques à l'ACP** avec ces définitions
- Deux analyses conduisant aux mêmes valeurs propres 
- Facteurs principaux de l'une = composantes principales de l'autre.

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## Interprétation

### Choix du nombre d'axes

- Pproblème plus compliqué que dans l'ACP 
- Critère de Kaiser s'applique mal
- Règle du coude toujours valide

### Coordonnées de points

- Principal résultat
- Représentation en 2 (ou plus) dimensions des modalités des deux variables

Les deux nuages de points, et donc les deux ensembles de modalités (de `$X$` et de `$Y$`) peuvent être représentés **sur le même graphique**.

Le cercle de corrélations n'a aucun intérêt ici.

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## Interpretation

### Contributions

- De même que pour l'ACP
- Contribution de la modalité `$i$` de `$X$` = `$\frac{t_{i.}}{n} \frac{(a_{ki}^2}{\lambda_k}$`
- Contributions fortes (supérieures à `$1/p$`)
- Idem les modalités `$j$` de `$Y$`.

### Qualité de représentation

Idem que pour l'ACP et que pour les contributions.

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## Plus loin

**Modalités supplémentaires** ne participant pas au calcul, mais pouvant être représentés sur les graphiques :

- Lignes et/ou colonnes supplémentaires : modalités de `$X$` ou de `$Y$` qu'on ne veut pas inclure dans le calcul de l'AFC

**Regroupement de modalités**

- à considérer si une modalité est trop peu présente
    - elle *tire* le nuage vers elle

Travail *envisageable* sur un jeu de données Individus x Variables, sous quelques conditions :

- Variables de mêmes unités ;
- Somme en lignes et en colonnes ayant un sens ;
- Recherche sur les profils (de consommation par exemple).

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## Exemple simple

Nous utilisons les données `occupationalStatus`, qui nous donne la répartition d'hommes britaniques suivant le statut professionnel de leur père (en ligne) et le leur (en colonne). Les statuts sont codés de 1 à 8, et nous n'avons aucune information sur ceux-ci.

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## Proportions globales

---
## Profils lignes

---
## Profils colonnes

---
## Part de la variance expliquée

<table class="table table-condensed">
 <thead>
 <tr>
 <th style="text-align:left;"> </th>
 <th style="text-align:right;"> Valeur propre </th>
 <th style="text-align:right;"> Variance (%) </th>
 <th style="text-align:right;"> Cumulée (%) </th>
 </tr>
 </thead>
<tbody>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 1 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.28 </td>
 <td style="text-align:right;"> 69.53 </td>
 <td style="text-align:right;"> 69.53 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 2 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.08 </td>
 <td style="text-align:right;"> 18.56 </td>
 <td style="text-align:right;"> 88.08 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 3 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.75 </td>
 <td style="text-align:right;"> 94.83 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 4 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 2.46 </td>
 <td style="text-align:right;"> 97.29 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 5 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.41 </td>
 <td style="text-align:right;"> 98.70 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 6 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.05 </td>
 <td style="text-align:right;"> 99.75 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dim 7 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.25 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 </tr>
</tbody>
</table>

2 axes suffisent à représenter 88.1% de l'information présente dans les données.

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## Représentation graphique - modalités en lignes

---
## Représentation graphique - modalités en colonnes

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## Représentation conjointe

---
## Lignes importantes

### Contribution

<table class="table table-condensed">
 <thead>
 <tr>
 <th style="text-align:left;"> </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 1 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 2 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 3 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 4 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 5 </th>
 </tr>
 </thead>
<tbody>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=1 </td>
 <td style="text-align:right;"> 57.96 </td>
 <td style="text-align:right;"> 31.92 </td>
 <td style="text-align:right;"> 5.88 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.37 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=2 </td>
 <td style="text-align:right;"> 19.37 </td>
 <td style="text-align:right;"> 10.11 </td>
 <td style="text-align:right;"> 45.34 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.77 </td>
 <td style="text-align:right;"> 9.49 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=3 </td>
 <td style="text-align:right;"> 4.81 </td>
 <td style="text-align:right;"> 21.63 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
 <td style="text-align:right;"> 5.03 </td>
 <td style="text-align:right;"> 9.39 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=4 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.08 </td>
 <td style="text-align:right;"> 10.28 </td>
 <td style="text-align:right;"> 19.46 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=5 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.99 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.29 </td>
 <td style="text-align:right;"> 16.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 43.10 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=6 </td>
 <td style="text-align:right;"> 5.09 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.09 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 2.45 </td>
 <td style="text-align:right;"> 23.28 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=7 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.07 </td>
 <td style="text-align:right;"> 9.05 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.17 </td>
 <td style="text-align:right;"> 45.16 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.29 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=8 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.62 </td>
 <td style="text-align:right;"> 14.93 </td>
 <td style="text-align:right;"> 16.61 </td>
 <td style="text-align:right;"> 30.56 </td>
 <td style="text-align:right;"> 13.97 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> Sum </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 </tr>
</tbody>
</table>

---
## Lignes importantes

### Qualité de représentation

<table class="table table-condensed">
 <thead>
 <tr>
 <th style="text-align:left;"> </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 1 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 2 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 3 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 4 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 5 </th>
 <th style="text-align:right;"> Somme </th>
 </tr>
 </thead>
<tbody>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=1 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.86 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.13 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=2 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.72 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.16 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=3 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.43 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.52 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.98 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=4 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.52 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.36 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.90 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=5 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.23 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.36 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.81 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=6 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.77 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.09 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.07 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.95 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=7 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.56 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.05 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.15 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.98 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> orig=8 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.49 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.29 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.12 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.08 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
</tbody>
</table>

---
## Colonnes importantes

### Contribution

<table class="table table-condensed">
 <thead>
 <tr>
 <th style="text-align:left;"> </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 1 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 2 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 3 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 4 </th>
 <th style="text-align:right;"> contrib 5 </th>
 </tr>
 </thead>
<tbody>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=1 </td>
 <td style="text-align:right;"> 55.37 </td>
 <td style="text-align:right;"> 33.26 </td>
 <td style="text-align:right;"> 7.44 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.13 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=2 </td>
 <td style="text-align:right;"> 18.32 </td>
 <td style="text-align:right;"> 11.56 </td>
 <td style="text-align:right;"> 45.67 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.93 </td>
 <td style="text-align:right;"> 4.50 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=3 </td>
 <td style="text-align:right;"> 8.25 </td>
 <td style="text-align:right;"> 9.59 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
 <td style="text-align:right;"> 3.66 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.12 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=4 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
 <td style="text-align:right;"> 14.10 </td>
 <td style="text-align:right;"> 11.29 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.81 </td>
 <td style="text-align:right;"> 7.10 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=5 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.15 </td>
 <td style="text-align:right;"> 5.39 </td>
 <td style="text-align:right;"> 2.17 </td>
 <td style="text-align:right;"> 4.72 </td>
 <td style="text-align:right;"> 41.76 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=6 </td>
 <td style="text-align:right;"> 5.22 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 11.06 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.58 </td>
 <td style="text-align:right;"> 36.64 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=7 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.23 </td>
 <td style="text-align:right;"> 11.74 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.48 </td>
 <td style="text-align:right;"> 47.46 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.49 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=8 </td>
 <td style="text-align:right;"> 6.42 </td>
 <td style="text-align:right;"> 14.35 </td>
 <td style="text-align:right;"> 15.66 </td>
 <td style="text-align:right;"> 41.83 </td>
 <td style="text-align:right;"> 9.27 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> Sum </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 100.00 </td>
 </tr>
</tbody>
</table>

---
## Colonnes importantes

### Qualité de représentation

<table class="table table-condensed">
 <thead>
 <tr>
 <th style="text-align:left;"> </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 1 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 2 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 3 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 4 </th>
 <th style="text-align:right;"> qualité 5 </th>
 <th style="text-align:right;"> Somme </th>
 </tr>
 </thead>
<tbody>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=1 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.85 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.14 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=2 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.70 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.12 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.17 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=3 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.73 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.23 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.97 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=4 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.66 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.90 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=5 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.42 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.06 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.05 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.25 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.83 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=6 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.72 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.15 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.97 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=7 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.53 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.27 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.05 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.14 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.00 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.99 </td>
 </tr>
 <tr>
 <td style="text-align:left;"> dest=8 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.48 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.28 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
 <td style="text-align:right;"> 0.01 </td>
 <td style="text-align:right;"> 1.00 </td>
 </tr>
</tbody>
</table>

---
## Lien avec le `$\chi^2$`

Il y a clairement un lien entre les deux variables.

```
## 
## 	Pearson's Chi-squared test
## 
## data: o
## X-squared = 1416, df = 49, p-value < 2.2e-16
```

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## Résidus

Différence entre observé et estimé.