Loi Normale

Reprendre fichier tips.csv :

• Format Excel
• Format Libre Office

1ère étape :

• Calculer moyenne et écart-type de total_bill (colonne A:A) dans les cellules M2 et M3 (par exemple)
• Calculer les bornes d’un intervalle basé sur la moyenne + ou - 2 fois l’écart-type, en écrivant dans les cellules les formules suivantes :
  • M5 : =M2-2*M3
  • M6 : =M2+2*M3
• Creér une colonne indiquant si la valeur de total_bill est dans cet intervalle (en indiquant OUI et NON par exemple)
  • Ecrire Dans intervalle en cellule H1
  • Ecrire dans la cellule H2 la formule

    =SI(A2>$M$5;SI(A2<$M$6;"OUI";"NON");"NON")
    

  • Dupliquer ensuite la formule pour toutes les lignes
• Calculer la répartition des réponses de la colonne H
  • Avec un tableau croisé dynamique par exemple

On trouve qu’environ 95% des valeurs sont dans l’intervalle et donc 5% en dehors

2ème étape :

• Dans une nouvelle feuille, écrire Valeur, Densité et Répartition sur la première ligne (cellules A1 à C1)
• Créer une liste de valeur allant de -5 à 5 par pas de 0,25 à partir de la cellule A2 (et en-dessous)
• Ecrire dans B2 la formule =LOI.NORMALE(A2;0;1;0)
  • Ceci calcule la densité de probabilité d’une loi normale N(0,1) pour la valeur dans A2
• Ecrire dans C2 la formule =LOI.NORMALE(A2;0;1;1)
  • Ici, nous avons la fonction de répartition de la même loi normale
• Dupliquer les formules pour toutes les valeurs de la colonne A
• Sélectionner les 3 colonnes et ajouter un graphique
  • Choisir XY (dispersion) avec que les lignes

Nous retrouvons la forme de la loi normale vue en cours

3ème étape :

• Repérer la ligne 14, pour laquelle la valeur dans la colonne A est égale à -2
  • La valeur de la colonne C est la valeur de la fonction de répartition, i.e. P(X < -2)
  • C’est-à-dire la probabilité qu’une valeur issue d’une loi normale N(0;1) soit inférieure à 2
  • On a donc environ 2,2% de chance qu’une valeur soit inférieure à -2
• Idem ligne 30 correspondant à 2
  • On a donc environ 97,7% de chance qu’une valeur soit inféreure à 2

On peut en conclure que j’ai 95,5% environ de chance d’avoir une valeur comprise entre -2 et 2, pour une loi normale N(0,1)

4ème étape :

• Dans une nouvelle feuille, écrire Proba en A1 et Valeur en B1
• Créer une liste de valeurs à partir de A2 et en-dessous : 0,025 , 0,05 , 0,10 , 0,9 , 0,95 et 0,975
• Dans B2, écrire la formule =LOI.NORMALE.INVERSE(A2;0;1)
  • Ceci calcule la valeur x pour laquelle P(X < x) = 0,025
• Dupliquer les formules pour toutes les valeurs de la colonne A
• Repérer la ligne 2, pour laquelle on a 0,025
  • Ceci indique qu’il y a 2,5 % de chance d’avoir une valeur inférieure à 1,96 pour une loi normale N(0,1)
• Idem ligne 7, pour laquelle on a 0,975
  • nous avons la même valeur, 1,96

Ceci implique qu’il y a 95% de chances d’avoir une valeur entre -1,96 et 1,96 pour une loi normale N(0,1)

5ème étape

• Dans la feuille avec les données tips, écrire dans I2 la formule suivante =(A2-moyenne)/ecart-type (en remplaçant la moyenne et l’écart-type par les cellules où elles sont calculées)
• Calculer le nombre de valeurs de cette colonne comprise entre -1,96 et 1,96
  • on retrouve la même répartition

Si X suit une loi normale N(m,σ²), il est possible de passer à une v.a. Y de loi normale N(0,1) en réalisant deux opérations : enlever la moyenne m et diviser par l’écart-type σ

Y = (X - m) / σ

On peut donc obtenir les bornes de l’intervalle comprenant 95% des données d’origine avec les calculs suivants donc (à faire dans la feuille tips donc):

• Borne inférieure : m - 1,96 * σ
• Borne supérieure : m + 1,96 * σ

A faire

• Calculer les bornes de l’intervalle comprenant 95% des valeurs de la colonne tip (B)
  • Regarder la répartition des valeurs dans cet intervalle et en-dehors
• Faire de même pour la variable size. Est-ce pertinent ?