Lois de probabilité

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.title[
# Lois de probabilité
]
.author[
### FX Jollois
]
.date[
### BUT TC - 2ème année
]

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## Variable aléatoire

Mesure d'un phénomène (*variable*) dont le résultat est déterminé par une expérience *aléatoire* (*i.e*. dépendant du hasard)

- Exemples classiques : Pile/Face, Lancer de dé, Température, ...

- Chaque résultat d'une expérience : **issue**

- Ensemble de toutes les issues possibles : **univers des possibles** `$\Omega$`

- Sous-ensemble de `$\Omega$` : **évènement**
  - Si ensemble à une seule issue *évènement élémentaire*

- Possibilité d'associer une valeur réelle à chaque issue
  - Notion de gain par exemple

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## Variable aléatoire et loi de probabilité

### Définition

Une **variable aléatoire** (ou *v.a.*) `$\mathbf{X}$` est une fonction définie sur `$\Omega$` et à valeur dans `$\mathbb{R}$`, à laquelle on associe une **loi de probabilité** (ou *distribution de probabilité*) dont la masse totale est égale à 1

- V.a. *continue* si les valeurs de `$X$` sont quantitatives continues
- V.a. *discrète* si le nombre de résultats est faible (ou si c'est qualitatif)

### Fonction de répartition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$x$` réelles ou discrètes.

La *fonction de répartition* `$F_X$` de la v.a. est la fonction qui associe une probabilité `$P(X \le x)$` à tout  `$x$`.

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## Variable aléatoire

### Fonction de masse

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$x_i$` discrètes.

La *fonction de masse* de la v.a. associe une probabilité `$P(X = x_i)$` à chaque résultat élémentaire `$x_i$`

### Densité de probabilité

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$x$` réelles.

La *fonction de densité* permet de calculer la probabilité d'appartenance à un domaine `$P(a \le X \le b)$` (c'est la dérivée de la fonction de répartition).

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## Exemple de cas discret

On lance un dé (à 6 faces), et on calcule notre gain avec

- `$+1$` si c'est pair
- `$-2$` si c'est `$\le 3$`
- `$+5$` si c'est 2

### A noter

- V.a. `$\mathbf{X}$` *discrète* : gain d'un lancer
- `$\Omega$` : `$1, \ldots, 6$`
- **Issues** : `$-2, 0, 1, 4$`

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## Exemple de cas discret

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## Cas discret

- **Loi uniforme discrète** (résultats équi-probables)

- **Loi de Bernouilli**

- **Loi Binomiale**

- **Loi de Poisson**

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## Loi uniforme discrète

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$k$` discrètes (avec `$k=1,\ldots,n)$`.

`$\mathbf{X}$` suit une **loi uniforme discrète** si pour chaque `$k$`, `$P(X = k) = \frac{1}{n}$`.

### Exemple

Dé à 6 faces (non pipé) `$\rightarrow P(X = k) = \frac{1}{6}$` (avec `$k=1,\ldots,6$`).

### Espérance et variance

$$
  E(X) = \frac{n+1}{2} \mbox{ et } V(X) = \frac{n^2 - 1}{12}
$$

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## Loi uniforme discrète - *exercice*

### Questions

On dispose de 10 boules numérotées de 1 à 10 dans une urne.

1. Quelle est la probabilité de tirer la boule 5 ?
1. Quelle est la probabilité de tirer 2 fois de suite la boule 5 ? trois fois ?
1. Si je tire 100 fois une boule (avec remise donc à chaque fois), quelle est valeur moyenne puis-je espérer avoir ?

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## Loi uniforme discrète - *exercice*

### Réponses

Soit `$\mathbf{X}$` une v.a. de loi uniforme discrète, à valeur entre 1 et 10.

1. `$P(X = 5) = \frac{1}{10}$`
1. `$P(X_1 = 5 \mbox{ et } X_2 = 5) = P(X_1 = 5) P(X_2 = 5) = \frac{1}{100}$` (car idépendance entre les 2 évènements)
  - Il y a donc 1 chance sur mille d'avoir 3 cinq d'affilés
1. `$E(X) = \frac{n+1}{2} = 50.5$`

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## Loi de Bernouilli

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant deux valeurs `$0$` ou `$1$`

`$\mathbf{X}$` suit une **loi de Bernouilli** si `$P(X = 1)=p$` et `$P(X = 0) = q = 1-p$`.

### Exemple

Pile ou face avec une pièce équilibrée

### Espérance et Variance

$$
  E(X) = p \mbox{ et } V(X) = pq
$$

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## Loi de Bernouilli - *exercice*

### Questions

On est en présence d'une assemblée de 250 personnes, dont 40 gauchers.

1. Quelle est la probabilité qu'une personne soit gauchère ?
1. A l'inverse, quelle est la probabilité qu'une personne soit droitière ?

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## Loi de Bernouilli - *exercice*

### Réponses

Soit `$\mathbf{X}$` une v.a. de loi de Bernouilli, valant 1 si la personne est gauchère, 0 sinon.

1. `$P(X = 1) = \frac{40}{250} = .16$`
1. `$P(X = 0) = 1 - P(X = 1) = 1 - .16 = .84$` (complémentaire)

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## Loi Binomiale

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant les valeurs `$0$` (avec une probabilité `$p$`) ou `$1$` (avec une probabilité `$1-p$`), et `$n$` le nombre de tirages réalisés.

`$\mathbf{X}$` suit une **loi Binomiale** lorsque `$P(X = k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}$`, somme de `$n$` v.a. indépendants de loi de Bernouilli.

`$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$` se nomme le coefficient binomial, et représente le nombre d'ensembles à `$k$` éléments qu'on peut obtenir dans l'ensemble des `$n$` éléments.

### Exemple

Avec 100 tirages à pile ou face, combien de fois on aura pile ?

### Espérance et Variance

$$
  E(X) = np \mbox{ et } V(X) = np(1-p)
$$

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## Loi Binomiale

### Fonction de masse

$$
P(X = k) = f(k) = C_k^n p^k (1-p)^{n-k}
$$
### Fonction de répartition

$$
F(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor} f(k) \mbox{ pour } 0 \le x \le n
$$

A noter que `$F(x)=0$` pour `$x < 0$` et `$F(x)=1$` pour `$x>n$`.

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## Loi Binomiale - *exercice*

### Questions

Supposons que nous avons formé 100 groupes de 2000 personnes, avec la même proportion de gaucher (16%) que précédemment.

1. Si je choisis une personne de chaque groupe, combien puis-je espérer avoir de gauchers au final ?
1. Quelle est la probabilité de n'avoir aucun gaucher ? Et 100 gauchers ?
1. Quelle est la probabilité d'avoir 20 gauchers ?

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## Loi Binomiale

### Réponses

Soit `$\mathbf{X}$` une v.a. de loi Binomiale, avec `$p = .16$` et `$n = 100$`

1. `$E(X) = np = 100 * .16 = 16$`
1. `$P(X = 0) = C_0^{100} .16^0 .84^{100} = .84^{100} < 0.0001$` (très très faible) et `$P(X = 100) = .16^{100} < 0.0001$` (aussi très très faible)
1. `$P(X = 20) = C_20^{100} .16^20 .84^{80} = 0.0567$`

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## Loi de Poisson

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$k$` discrètes (avec `$k=1,2,\ldots$`).

`$\mathbf{X}$` suit une **loi de Poisson** `$Pois(\lambda)$` si pour chaque `$k$`, `$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$` où

- `$e$` est la base de l'exponentielle
- `$\lambda$` représente le nombre moyen d'occurences dans un intervalle de temps fixé

### Exemple

Nombre de personnes à l'arrêt d'un bus après une certaine durée

### Espérance et Variance

$$
  E(X) = \lambda \mbox{ et } V(X) = \lambda
$$

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## Loi de Poisson

### Fonction de masse

$$
P(X = k) = f(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$

### Fonction de répartition

$$
F(k) = \frac{\Gamma(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !} \mbox{ pour } k > 0
$$

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## Cas continu

- Loi uniforme

- Loi Normale

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## Loi uniforme continue

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$x$` réelles dans `$[a;b]$`.

`$\mathbf{X}$` suit une **loi uniforme continue** `$U(a,b)$` si tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité

### Exemple

Pas réellement de cas dans la vie de tous les jours

### Espérance, Variance

$$
  E(X) = \frac{a+b}{2} \mbox{ et } V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} 
$$

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## Loi uniforme continue

### Densité de probabilité

$$
f(x) = \frac{1}{b-a}  \mbox{ pour } x \in [a;b]
$$

A noter que `$f(x)=0$` pour toute valeur `$x<a$` et `$x>b$`.

![](seance4--lois-proba_files/figure-html/uni-cont-dens-1.png)

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## Loi uniforme continue

### Fonction de répartition

$$
F(x) = \frac{x - a}{b - a} \mbox{ pour } x \in [a;b] 
$$

A noter que `$F(x)=0$` pour `$x<a$`, et `$F(x)=1$` pour `$x>b$`.

![](seance4--lois-proba_files/figure-html/uni-cont-rep-1.png)

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## Loi Normale

### Définition

Soit `$\mathbf{X}$` une *v.a.* prenant des valeurs `$x$` réelles.

`$\mathbf{X}$` suit une **loi Normale** `$N(\mu, \sigma^2)$` de moyenne `$\mu$` et de variance `$\sigma^2$`.

### Exemple

Mesure de la taille d'une population

### Espérance et Variance

$$
  E(X) = \mu \mbox{ et } V(X) = \sigma^2
$$

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## Loi Normale

### Densité de probabilité

$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

![](seance4--lois-proba_files/figure-html/norm-dens-1.png)

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## Loi Normale

### Fonction de répartition

$$
 F(x) = \frac{1}{2} \left( 1 + \mbox{erf} \frac{x - \mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)
$$

![](seance4--lois-proba_files/figure-html/norm-rep-1.png)