Lois de probabilité - Discrète

Outil de calcul des probabilités dans un tableur

Pour la loi binomiale

Dans un nouveau fichier, nous allons créer un outil permettant de faire des calculs de probabilités à partir de la loi binomiale. Réaliser les étapes suivantes :

1. Ecrire en cellule A1 un titre de type Outil de calcul - Loi Binomiale
2. En cellule A3 et en dessous, écrire :
   • Nombre de tentatives
   • Probabilité de réussite pour une tentative
   • Nombre de réussites
3. En cellule B3 et en dessous, écrire : N, p, K
4. En cellule A7, écrire Probabilité d’avoir exactement K réussites sur N tentatives et en B7, écrire P(X = K)
5. En cellule A8, écrire Probabilité d’avoir au maximum K réussites sur N tentatives et en B8, écrire P(X <= K)
6. Ecrire les valeurs suivantes dans les cellules annoncées :
   • En C3 : 25
   • En C4 : 0,2
   • En C5 : 5
7. Ecrire maintenant les formules suivantes dans les cellules indiquées :
   • En C7 : =LOI.BINOMIALE.N(C5;C3;C4;FAUX)
     • Le premier paramètre (C5 ici) donne le nombre de réussite
     • Le deuxième paramètre (C3 pour nous) donne le nombre de tentative
     • Le troisième paramètre (dans notre cas C4) donne la probabilité de réussite pour une tentative
     • Le quatrième paramètre (ici FAUX) indique qu’on calcule P(X = K)
   • En C8, écrire la même formule avec VRAI en dernier paramètre (au lieu de FAUX donc)
     • Cela indique qu’on calcul maintenant P(X <= K)

Vous devriez obtenir les résultats suivants : P(X = K) = 0,1960 et P(X <= K) = 0,6167

Cela veut dire que, sur 25 tentatives avec 1 chance sur 5 de gagner (p=0,2), il y a une probabilité de 0,1960 de gagner exactement 5 fois. Et il y a une probabilité de 0,6167 d’avoir entre 0 et 5 réussites.

Premier exercice

Il est parfois nécessaire de calculer P(X > K) (terme à écrire en cellule B9). Ecrivez le calcul en cellule C9 qui va vous permettre d’obtenir cette probabilité, à partir de celles calculées juste avant.

Pour la loi de Poisson

1. Ecrire en cellule F1 un titre de type Outil de calcul - Loi de Poisson
2. En cellule F3 et F4, écrire :
   • Espérance
   • Nombre de réussites
3. En cellule G3 et G4, écrire : lambda et K
4. En cellule G7, écrire P(X = K)
5. En cellule G8, écrire P(X <= K)
6. Ecrire les valeurs suivantes dans les cellules annoncées :
   • En H3 : 2
   • En H4 : 4
7. Ecrire maintenant les formules suivantes dans les cellules indiquées :
   • En H7 : =LOI.POISSON.N(H4;H3;FAUX)
     • Le premier paramètre (H4 ici) donne le nombre de réussite
     • Le deuxième paramètre (43 pour nous) donne le nombre de tentative
     • Le troisième paramètre (ici FAUX) indique qu’on calcule P(X = K)
   • En H8, écrire la même formule avec VRAI en dernier paramètre (au lieu de FAUX donc)
     • Cela indique qu’on calcul maintenant P(X <= K)

Vous devriez obtenir les résultats suivants : P(X = K) = 0,0902 et P(X <= K) = 0,9473

Cela veut dire que, sur la base d’une espérance de 2, il y une probabilité de 0,0902 d’avoir exactement 4 et une probabilité de 0,9473 d’avoir entre 0 et 4.

Exercices sur loi binomiale

A l’aide de l’outil ci-dessus, répondre aux questions ci-dessous.

De l’utilité des probabilités dans les choix stratégiques d’un étudiant

Un test comporte 10 questions, avec chacune 4 choix possibles et une seule réponse juste.

1. Combien y a t’il de grilles de réponses possibles ?
2. Quelle est la probabilité de répondre au hasard 6 fois correctement ? et d’avoir au moins 6 réponses correctes ?

Prospection chanceuse ou efficiente

Supposons que nous avons un ensemble de 500 prospects, et on suppose qu’on a en général un taux de conversion de 20%. Nous avons 3 produits différents à vendre à ces prospects, le taux de conversion est supposé le même entre les 3.

1. Que puis-je dire de la variable aléatoire modélisant le nombre de clients, après une campagne auprès de ces prospects ?
2. Suite à cette campagne, nous avons réussi à avoir 130 clients sur le produit 1, 110 clients sur le produit 2 et 80 clients sur le produit 3. Que peut-on dire de la performance de notre campagne pour chaque produit ?
3. Quelle est la probabilité qu’une personne achète les 3 produits ? Seulement 2 ? Seulement 1 ? Aucun ?
4. Au final, combien de clients (quelque soit le produit) puis-je espérer avoir ?

Exercices sur loi de Poisson

Gestion d’un magasin

Dans un magasin, entre 10h et 11h, on observe que la probabilité qu’une personne se présente entre la minute m et la minute m+1 est égale à 10%. On veut calculer la probabilité pour que n personnes viennent dans ce magasin entre 10h et 11h.

1. Définir une variable aléatoire adaptée. Combien de personnes peut on espérer dans l’heure considérée ?
2. Donner les probabilités qu’aucune personne ne vienne ? qu’une seule personne ? que 6 personnes viennent ?
3. Sachant qu’à partir de 10 personnes dans le magasin, je dois prévoir 1 personne en plus. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 10 personnes se présentent au magasin entre 10h et 11h ?

Centenaire

Si dans une population une personne sur cent est centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins une personne centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ? Combien de personnes doit-on choisir au hasard pour être quasiment sûr de trouver un centenaire (avec probabilité de se tromper inférieur à 1%) ?