class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Rappels de probabilité ] .author[ ### FX Jollois ] .date[ ### BUT TC - 2ème année ] --- ## Rappels de probabilités : Définitions - **Expérience aléatoire** : expérience dont le résultat ne peut pas être déterminé *a priori* - **Univers de l'expérience** : ensemble des résultats possibles (noté `\(\Omega\)`) - **Résultat élémentaire** : résultat possible de l'expérience (noté `\(\omega\)`) - **Ensemble des parties** : ensemble constitué de tous les sous-ensembles possibles de `\(\Omega\)` (noté `\(\mathcal{P}(\Omega)\)`) - **Evènement** (aléatoire) : partie (sous-ensemble) de `\(\Omega\)` (noté `\(A\)`) - On parle de *réalisation* lorsque l'évènement se produit (*i.e* le résultat `\(\omega\)` appartient au sous-ensemble `\(A\)`) - `\(A=\Omega\)` se réalise toujours - `\(A=\emptyset\)` ne se réalise jamais - `\(A=\{\omega\}\)` s'appelle donc un évènement élémentaire --- ## Exemple simple Lancer d'un dé à 6 faces (non pipé), avec un jeu où on doit faire un nombre pair - `\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)` - `\(\mathcal{P}(\Omega)\)` : ensemble des 64 sous-ensembles possibles - `\(\emptyset\)` et `\(\Omega\)` - `\(\{1\}, \{2\}, \ldots\)` - `\(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \ldots\)` - `\(\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \ldots\)` - `\(\ldots\)` - `\(A=\{2, 4, 6\}\)` --- ## Rappels de probabilités : Evènements - `\(A\)` : évènement constitué des éléments de `\(\Omega\)` inclus dans `\(A\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Complémentaire** de `\(A\)` : évènement constitué des éléments de `\(\Omega\)` non inclus dans `\(A\)` - `\(\bar{A} = \{\omega \in \Omega, \omega \notin A \}\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Union** de `\(A\)` et `\(B\)` : évènement constitué des éléments de `\(A\)` et des éléments de `\(B\)` (ou aux deux donc) - `\(A \cup B = \{ w \in \Omega, \omega \in A \mbox{ ou } \omega \in B \}\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Intersection** de `\(A\)` et `\(B\)` : événement constitué des éléments de `\(\Omega\)` étant à la fois dans `\(A\)` et dans `\(B\)` - `\(A \cap B = \{ w \in \Omega, \omega \in A \mbox{ et } \omega \in B \}\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Différence** entre `\(A\)` et `\(B\)` (non symétrique) : ensemble constitué des éléments de `\(A\)` n'étant pas dans `\(B\)` - `\(A \setminus B = \{ w \in \Omega, \omega \in A \mbox{ et } \omega \notin B \}\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Inclusion** : `\(A\)` est inclus dans `\(B\)` si tous les éléments de `\(A\)` sont dans `\(B\)` - `\(A \subset B \Leftrightarrow \left( \omega \in A \implies \omega \in B \right)\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements - **Disjonction** (ou incompatibilité) : `\(A\)` et `\(B\)` sont disjoints s'il n'y aucun élément commun entre les deux - `\(A\)` et `\(B\)` disjoints `\(\Leftrightarrow A \cap B = \emptyset\)`  --- ## Rappels de probabilités : Evènements ### Système complet d'évènements `\((A_1, A_2, \ldots, A_n)\)` constitue un système complet s'ils forment une **partition** de `\(\Omega\)` - Ils sont 2 à 2 incompatibles : `\(\forall p \ne q, A_p \cap A_q = \emptyset\)` - Leur réunion est égale à `\(\Omega\)` : `\(\bigcup_{p=1}^n A_p = \Omega\)` --- ## Rappels de probabilités **Probabilité** : fonction permettant de mesurer la chance (ou le risque) de réalisation d'un évènement Quelques opérations : - `\(P(\emptyset) = 0\)` et `\(P(\Omega)=1\)` - `\(0 \le P(A) \le 1\)` - `\(P(A) = \sum_{\omega_i \in A} P(\omega_i)\)` - `\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)` - `\(P(A) \le P(B)\)` si `\(A \subset B\)` - `\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)` - `\(P(\bigcup_i A_i) \le \sum_i P(A_i)\)` --- ## Rappels de probabilités - Probabilité conditionnelle de `\(A\)` sachant `\(B\)` $$ P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ - Indépendance de 2 évènements `\(A\)` et `\(B\)` - 2 évènements disjoints ne sont pas considérés comme indépendant $$ P(A \cap B) = P(A) P(B) $$ $$ P(A / B) = P(A) $$ $$ P(B / A) = P(B) $$ - Théorème de Bayes $$ P(A / B) = \frac{P(B / A) P(A)}{P(B)} $$