Rappel de Statistique

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Rappel de Statistique - Bivarié
]
.author[
### FX Jollois
]
.date[
### BUT TC - 2ème année
]

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# Décrire un lien entre variable

- Statistique univarié utile pour comprendre le comportement de chaque variable

- Bivarié utile pour comprendre le lien éventuel entre 2 variables

- Particulièrement intéressant si variable d'intérêt spécifique (de type achat oui/non, montant du panier, ...)

- Croisements possibles
  - 2 variables quantitatives
  - 2 variables qualitatives
  - 1 variable qualitative et 1 variable quantitative

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class: middle, center, inverse

# Quantitative vs quantitative

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## Quantitative vs quantitative
  
- Covariance
$$
  cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
$$
  - Problème : non bornée et donc non exploitable

- Coefficient de corrélation linéaire (de *Pearson*)
$$
  \rho(x,y) = \frac{cov(x,y)}{\sigma^2(x) \sigma^2(y)}
$$
  - Covariance des variables normalisées
- Valeurs comprises entre -1 et 1
  - `$0$` : pas de lien linéaire (autre type de lien possible)
  - `$1$` : lien positif fort (si `$x$` augmente, `$y$` augmente)
  - `$-1$` : lien négatif fort (si `$x$` augmente, `$y$` diminue)

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## Quantitative vs quantitative

### Nuage de points

- Attention à la présence d'**outliers** avec un comportement atypique

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## Anscombe

La visualisation est aussi importante (voire plus) que la représentation numérique !

Entre ces quatre séries :

- même moyenne et même variance pour `$x$` et `$y$`
- même coefficient de corrélation entre les deux

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">  </th>
   <th style="text-align:right;"> 1 </th>
   <th style="text-align:right;"> 2 </th>
   <th style="text-align:right;"> 3 </th>
   <th style="text-align:right;"> 4 </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Moyenne(x) </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Moyenne(y) </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ecart-type(x) </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ecart-type(y) </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Covariance </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Corrélation </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## Anscombe

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class: middle, center, inverse

# Qualitative vs qualitative

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## Qualitative vs qualitative

**Table de contingence** : Croisement des 2 ensembles de modalités, avec le nombre d'individus ayant chaque couple de modalités

- `$n_{ij}$` : Nombre d'observations ayant la modalité `$i$` pour `$x$` et `$j$` pour `$y$`
- `$n_{i.}$` : Effectif marginal (nombre d'observations ayant la modalité `$i$` pour `$x$`)
- `$n_{.j}$` : Effectif marginal (nombre d'observations ayant la modalité `$j$` pour `$y$`)

|          | 1 | `$\ldots$` | `$j$` | `$\ldots$` | `$\ell$` | Total |
|----------|---|----------|-----|----------|--------|-------|
|       1  |
| `$\ldots$` |
|   `$i$`    |   |          | `$n_{ij}$` |   |          | `$n_{i.}$` |
| `$\ldots$` |
|   `$k$`    |
|  Total   |   |          | `$n_{.j}$` |   |          | `$n_{..}=n$` |

---

## Qualitative vs qualitative

### Profils lignes et colonnes

Distribution d'une variable conditionnellement aux modalités de l'autre
  
### Profil ligne

Pour une ligne `$i$` : `$\frac{n_{ij}}{n_{i.}}$`
- Somme des valeurs en lignes = 100%

### Profil colonne

Pour une colonne `$j$` : `$\frac{n_{ij}}{n_{.j}}$`
  - Somme des valeurs en colonnes = 100%

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## Qualitative vs qualitative

Exemple : Jour de la semaine et Présence de fumeur

.pull-left30[
<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> day </th>
   <th style="text-align:right;"> No </th>
   <th style="text-align:right;"> Yes </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Thur </td>
   <td style="text-align:right;"> 45 </td>
   <td style="text-align:right;"> 17 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Fri </td>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
   <td style="text-align:right;"> 15 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sat </td>
   <td style="text-align:right;"> 45 </td>
   <td style="text-align:right;"> 42 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:right;"> 57 </td>
   <td style="text-align:right;"> 19 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right70[
<img src="seance2--stat-bi_files/figure-html/qtql-graph-1.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
]

Couple de modalités très peu pris : regroupement de modalités à envisager éventuellement

---

## Qualitative vs qualitative

### Profils colonnes ici (sommes en colonnes = 100%)

.pull-left30[
<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> day </th>
   <th style="text-align:right;"> No </th>
   <th style="text-align:right;"> Yes </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Thur </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.30 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.18 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Fri </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.16 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sat </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.30 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.45 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.20 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right70[
<img src="seance2--stat-bi_files/figure-html/qtql-graph-2-1.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
]

---

## Qualitative vs qualitative

### Profils lignes ici (sommes en lignes = 100%)

.pull-left30[
<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> day </th>
   <th style="text-align:right;"> No </th>
   <th style="text-align:right;"> Yes </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Thur </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.73 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.27 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Fri </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.21 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.79 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sat </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.52 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.48 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.75 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.25 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right70[
<img src="seance2--stat-bi_files/figure-html/qtql-graph-3-1.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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class: middle, center, inverse

# Qualitative vs quantitative

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## Qualitative vs quantitative

- Soit `$Y$` la variable qualitative à `$m$` modalités, et `$X$` la variable quantitative
- Sous-populations déterminées par les modalités de `$Y$`
- Indicateurs calculés pour chaque modalité k

`$$\bar{x_j} = \frac{1}{n_j} \sum_{i | y_i = j} x_i$$`

`$$\sigma^2(x_j) = \frac{1}{n_j} \sum {}_{i | y_i = j} (x_i - \bar{x_j})^2$$`

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## Qualitative vs quantitative

Exemple : Montant payé et Jour de la semaine

### Boîte à moustaches

- Outliers observables par modalité