Rappel de Statistique

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Rappel de Statistique - Univarié
]
.author[
### FX Jollois
]
.date[
### BUT TC - 2ème année
]

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# Qu'est-ce que la statistique ?

- Ensemble de méthodes permettant de décrire et d'analyser des observations (communément appelées **données** de nos jours)

- Utilisé maintenant dans tous les secteurs d'activités
  - Economie et finance : marketing, sondages...
  - Industrie : fiabilité, contrôle qualité...
  - Santé : recherche médicale, gestion des hôpitaux...
  - Environnement : prévisions climatiques et météorologiques, pollution...
  - Web : réseaux, publicité...
  - ...

- Essor important avec le développement des outils informatiques et du web

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## Définitions de base
  
- **Population** : ensemble d'entités (personnes, objets, \ldots) étudiées
- **Individu** (ou *unité statistique*) : entité étudiée
- **Variable** : caractéristique étudiée sur chaque individu
- **Observation** : mesure 
- **Série statistique** : série d'observations recueillies sur les individus
- **Tableau de données** : stockage de la série statistique
  - Individus croisant des variables 
  - Chaque ligne représente un individu
  - Chaque colonne représente une variable (ou attribut)
  - C'est ce qu'on fait classiquement dans un tableur de type Excel

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## Données `tips`

Serveur notant des infos sur chaque table dont le pourboire

- Exemple utilisé dans ce document
- 10 premières lignes

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> total_bill </th>
   <th style="text-align:right;"> tip </th>
   <th style="text-align:left;"> sex </th>
   <th style="text-align:left;"> smoker </th>
   <th style="text-align:left;"> day </th>
   <th style="text-align:left;"> time </th>
   <th style="text-align:right;"> size </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 16.99 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.01 </td>
   <td style="text-align:left;"> Female </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 10.34 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.66 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 3 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 21.01 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.50 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 3 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 23.68 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.31 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 24.59 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.61 </td>
   <td style="text-align:left;"> Female </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 25.29 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.71 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 8.77 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.00 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 26.88 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.12 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 15.04 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.96 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 14.78 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.23 </td>
   <td style="text-align:left;"> Male </td>
   <td style="text-align:left;"> No </td>
   <td style="text-align:left;"> Sun </td>
   <td style="text-align:left;"> Dinner </td>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## Type de variables
  
### Variable quantitative
  
- Caractéristiques numériques : opérations de type somme ayant un sens

### Continue
  
- Mesurable
- Ex : taille, poids, durée...

### Discrète
  
- Dénombrable ou mesurable en espace fini
- Ex : âge, quantité en stock...

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## Type de variables
  
### Variable qualitative
  
- Caractéristiques non numériques : opérations de type somme n'ayant pas de sens
- Valeurs possibles : **Modalités** (ou catégories)

### Nominale

- Modalités n'ayant pas de lien entre elles (Ex : couleur des yeux, sexe...)
- Cas particulier *Binaire* : 2 valeurs possibles uniquement (Ex : oui/non, présence/absence...)

### Ordinale

- Modalités devant être triées dans un ordre spécifique (Ex : mois, sentiment...)

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## Transformation de variable
  
### Quantitative en qualitative
  
- Courant de transformer une variable **quantitative** en variable **qualitative ordinale**
- Ex : Catégorie d'âge, Nombre d'enfants du foyer, ...

- Différents problèmes se posent
- Combien de modalités (*intervalles* ici) ? 
  - Taille identique des intervalles ou variable (*amplitude*) ?
  - Seuils des intervalles ?
  
  
---

## Transformation de variable
  
### Standardisation ou normalisation d'une variable quantitative
  
- Obligatoire pour l'utilisation de certaines méthodes statistiques

- 2 opérations sont réalisées :
  - Centrage : on retire la moyenne à chaque valeur
  - Réduction : on divise par l'écart-type
$$
  x_{norm} = \frac{x - \bar{x}}{\sigma}
$$

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## Premier problème : décrire les données

On parle de **Statistique descriptive** ou **exploratoire**

### Objectifs

- Résumer l'information contenue dans les données
- Faire ressortir des éléments intéressants
- Poser des hypothèses sur des phénomènes potentiellement existant dans les données

### Outils
  
- Description numérique (moyenne, occurrences, corrélation...)
- Description graphique (histogramme, diagramme en barres, nuage de points...)

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class: inverse, middle, center

# Variable quantitative

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## Variable quantitative
  
- Moyenne `$\bar{x}$`
$$
  \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$
  
- Variance (et écart-type `$\sigma(x)$`)
$$
  \sigma^2(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
$$
  
---

## Variable quantitative
  
- Médiane `$med(x)$` : valeur permettant de séparer les observations ordonnées prises par `$x$` en 2 groupes de même taille
$$
  med(x) = m | P(x \le m) = .5
$$
  - si `$n$` est impair : `$med(x) = x_{(n + 1) / 2}$`
  - si `$n$` est pair : `$med(x) = \frac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}$`
  
- Quantile `$q_p(x)$` : valeur pour laquelle une proportion `$p$` d'observations sont inférieures
$$
  q_p(x) = q | P(x \le q) = p
$$
  - Quartiles `$Q1$` et `$Q3$` : respectivement 25% et 75% (utilisés dans les boîtes à moustaches)
  - Quantiles usuels : `$.01$` (1%), `$.1$` (10%), `$.9$` (90%), `$.99$` (99%)$

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## Variable quantitative
  
### Histogramme

- Nombre de "barres" pouvant influer sur l'analyse

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## Variable quantitative
  
### Boîte à moustaches

- Moustache au min et max OU à 1.5 fois la distance interquartile `$(Q1-Q3)$` des quantiles `$Q1$` et `$Q3$`

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## Variable quantitative
  
### A quoi doit-on faire attention ?

- Si divergence moyenne et médiane : déséquilibre de la répartition des valeurs 
  - 
  
- Présence de valeurs aberrantes (nommés **outliers**)

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class: inverse, middle, center

# Variable qualitative

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## Variable qualitative
  
### Nominale
  
- Modalités de la variable `$x$` : `$m_j$` (avec `$j=1,...,p$`)
- Effectif (ou occurrences) d'une modalité `$n_j$` : nombre d'individus ayant la modalité `$m_j$`
- Fréquence d'une modalité `$f_j$`
$$
    f_j = \frac{n_j}{n}
$$

### Ordinale

Effectif cumulé `$n_j^{cum}$` : nombre d'individus ayant une modalité entre `$m_1$` et `$m_j$` inclus

- N'a de sens que s'il y a un ordre naturel entre les modalités
- Fréquence cumulée : somme des fréquences des modalités de `$m_1$` à `$m_j$`

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## Variable qualitative
  
### Diagramme en barres

- Attention à l'ordre des barres si celui-ci a une importance

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## Variable qualitative

### Diagrame circulaire

- N'a de sens que si la somme doit bien faire 100% (à éviter si réponse multiple possible par exemple)

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## Variable qualitative

### A quoi doit-on faire attention ?
  
- Différence entre les proportions

- Si modalités trop peu fréquentes, regroupement de modalités à envisager

- Pas de 3D pour le diagramme circulaire !!

- Si plus de 5 modalités, privilégier le diagramme en barres