Exercices autour des lois et du calcul de probabilités

Loi uniforme continue

Exercice 1

X est une v.a. de loi uniforme sur l’intervalle I. Déterminer pour chaque intervalle ci-dessous la fonction de densité et calculer P(4 ≤ X ≤ 5).

1. I = [4; 6]
2. I = [0; 5]

Exercice 2

X est une v.a. de loi uniforme sur [-3;3].

1. Calculer P(X ≤ 1), et P(X > 0.5)
2. Donner l’espérance de X

Exercice 3

Antoine doit venir voir Jean entre 14h45 et 16h30. Quelle est la probabilité qu’il arrive pendant la réunion de Jean qui a lieu entre 15h30 et 16h00 ?

Lois discrètes

Outil de calcul des probabilités d’une loi binomiale

Paramètre	Valeur	Limites
N		entre 1 et 1000
p		entre 0 et 1
K		entre 0 et 25

Proba		Valeur
P(X = K)	=	--
P(X ≤ K)	=	--

Outil de calcul des probabilités d’une loi de Poisson

Paramètre	Valeur	Limites
λ		entre 0 et 1000
K		≥ 0

Proba		Valeur
P(X = K)	=	--
P(X ≤ K)	=	--

Pile ou face à répétition

On joue à pile ou face, 4 fois de suite. Et on note les résultats (dans l’ordre).

1. Déterminer la loi de probabilité
2. Calculer les probabilités des 2 évènements suivants :
   • A : il y a strictement plus de piles que de faces
   • B : le premier lancer est pile

De l’utilité des probabilités dans les choix stratégiques d’un étudiant

Un test comporte 10 questions, avec chacune 4 choix possibles et une seule réponse juste.

1. Combien y a t’il de grilles de réponses possibles ?
2. Quelle est la probabilité de répondre au hasard 6 fois correctement ? et d’avoir au moins 6 réponses correctes ?

Prospection chanceuse ou efficiente

Supposons que nous avons un ensemble de 500 prospects, et on suppose qu’on a en général un taux de conversion de 20%. Nous avons 3 produits différents à vendre à ces prospects, le taux de conversion est supposé le même entre les 3.

1. Que puis-je dire de la variable aléatoire modélisant le nombre de clients, après une campagne auprès de ces prospects ?
2. Suite à cette campagne, nous avons réussi à avoir 130 clients sur le produit 1, 110 clients sur le produit 2 et 80 clients sur le produit 3. Que peut-on dire de la performance de notre campagne pour chaque produit ?
3. Quelle est la probabilité qu’une personne achète les 3 produits ? Seulement 2 ? Seulement 1 ? Aucun ?
4. Au final, combien de clients (quelque soit le produit) puis-je espérer avoir ?

Gestion d’un magasin

Dans un magasin, entre 10h et 11h, on observe que la probabilité qu’une personne se présente entre la minute m et la minute m+1 est égale à 10%. On veut calculer la probabilité pour que n personnes viennent dans ce magasin entre 10h et 11h.

1. Définir une variable aléatoire adaptée. Combien de personnes peut on espérer dans l’heure considérée ?
2. Donner les probabilités qu’aucune personne ne vienne ? qu’une seule personne ? que 6 personnes viennent ?
3. Sachant qu’à partir de 10 personnes dans le magasin, je dois prévoir 1 personne en plus. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 10 personnes se présentent au magasin entre 10h et 11h ?

Centenaire

Si dans une population une personne sur cent est centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins une personne centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ? Combien de personnes doit-on choisir au hasard pour être quasiment sûr de trouver un centenaire (avec probabilité de se tromper inférieur à 1%) ?