Soit \(X\) une v.a. mesurant l’apparition d’une propriété pour \(n\) individus, on a \(\hat{p}\) l’estimateur de la proportion dans le population égal à : \[ \hat{p} = \frac{k}{n} \] où \(k\) est le nombre d’individus ayant la propriété dans l’échantillon.
Lorsque \(n\) est grand (supérieur à 30), et \(p\) compris dans l’intervalle \([0.1, 0.9]\), on peut définir un intervalle de confiance avec une probabilité \(\alpha\) comme suit : \[ \left[ \hat{p} - u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}; \hat{p} + u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \right] \] où \(u_{\alpha/2}\) représente la valeur dans la table de la loi Normale centrée-réduite telle que \(P(X > u_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2}\)).
Valeurs importantes de la table de la loi Normale.
| P(X < u) | u (loi Normale N(0,1)) |
|---|---|
| 0.999 | 3.090 |
| 0.995 | 2.576 |
| 0.990 | 2.326 |
| 0.975 | 1.960 |
| 0.950 | 1.645 |
| 0.900 | 1.282 |
On cherche à connaître le nombre de gaucher dans la population. On étudie un échantillon de 300 personnes, dans lequel nous observons 15 % de gauchers.
On prévoit de réaliser un référendum. On sait que la réponse Oui se situe autour de 50 %. On se demande donc combien de personnes faudrait-il interroger pour que la proportion de Oui soit connue à 1 % près (en plus ou en moins).
Lors de la réalisation de ce sondage, finalement pratiqué sur 1000 personnes, nous avons obtenu 55 % pour le Oui et 45 % pour le Non. Peut-on prévoir le résultat du référendum, avec un taux de confiance de 95 % ?
Pour mesurer l’effet d’un nouveau médicament, on créé 3 groupes de 100 personnes chacun. Le comprimé donné diffère entre les groupes :
Après analyse, on observe que les patients ayant guéri :
Peut-on conclure à l’efficacité du nouveau médicament par rapport au placebo ? Et par rapport au médicament référence ? Qu’observe-t’on pour le médicament de référence vis-à-vis du placebo ? Ces analyses sont faites avec un seuil de 5 %.