Loi uniforme continue

Exercice 1

\(\mathbf{X}\) est une v.a. de loi uniforme sur l’intervalle \(I\). Déterminer pour chaque intervalle ci-dessous la fonction de densité et calculer \(P(4 \le X \le 5)\).

  1. \(I = [4; 6]\)
  2. \(I = [0; 5]\)

Exercice 2

\(\mathbf{X}\) est une v.a. de loi uniforme sur \([-3;3]\).

  1. Calculer \(P(X \le 1)\), et \(P(X > 0.5)\)
  2. Donner l’espérance de \(\mathbf{X}\)

Exercice 3

Antoine doit venir voir Jean entre 14h45 et 16h30. Quelle est la probabilité qu’il arrive pendant la réunion de Jean qui a lieu entre 15h30 et 16h00 ?

Lois discrètes

Outil de calcul des probabilités d’une loi binomiale

Paramètre Valeur Limites
N entre 1 et 1000
p entre 0 et 1
K entre 0 et 25
Proba Valeur
P(X = K) = –
P(X ≤ K) = –

Outil de calcul des probabilités d’une loi de Poisson

Paramètre Valeur Limites
λ entre 0 et 1000
K ≥ 0
Proba Valeur
P(X = K) = –
P(X ≤ K) = –

Pile ou face à répétition

On joue à pile ou face, 4 fois de suite. Et on note les résultats (dans l’ordre).

  1. Déterminer la loi de probabilité
  2. Calculer les probabilités des 2 évènements suivants :
  • \(A\) : il y a strictement plus de piles que de faces
  • \(B\) : le premier lancer est pile

De l’utilité des probabilités dans les choix stratégiques d’un étudiant

Un test comporte 10 questions, avec chacune 4 choix possibles et une seule réponse juste.

  1. Combien y a t’il de grilles de réponses possibles ?
  2. Quelle est la probabilité de répondre au hasard 6 fois correctement ? et d’avoir au moins 6 réponses correctes ?

Prospection chanceuse ou efficiente

Supposons que nous avons un ensemble de 500 prospects, et on suppose qu’on a en général un taux de conversion de 20%. Nous avons 3 produits différents à vendre à ces prospects, le taux de conversion est supposé le même entre les 3.

  1. Que puis-je dire de la variable aléatoire modélisant le nombre de clients, après une campagne auprès de ces prospects ?
  2. Suite à cette campagne, nous avons réussi à avoir 130 clients sur le produit 1, 110 clients sur le produit 2 et 80 clients sur le produit 3. Que peut-on dire de la performance de notre campagne pour chaque produit ?
  3. Quelle est la probabilité qu’une personne achète les 3 produits ? Seulement 2 ? Seulement 1 ? Aucun ?
  4. Au final, combien de clients (quelque soit le produit) puis-je espérer avoir ?

Gestion d’un magasin

Dans un magasin, entre 10h et 11h, on observe que la probabilité qu’une personne se présente entre la minute \(m\) et la minute \(m+1\) est égale à 10%. On veut calculer la probabilité pour que \(n\) personnes viennent dans ce magasin entre 10h et 11h.

  1. Définir une variable aléatoire adaptée. Combien de personnes peut on espérer dans l’heure considérée ?
  2. Donner les probabilités qu’aucune personne ne vienne ? qu’une seule personne ? que 6 personnes viennent ?
  3. Sachant qu’à partir de 10 personnes dans le magasin, je dois prévoir 1 personne en plus. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 10 personnes se présentent au magasin entre 10h et 11h ?

Centenaire

Si dans une population une personne sur cent est centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins une personne centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ? Combien de personnes doit-on choisir au hasard pour être quasiment sûr de trouver un centenaire (avec probabilité de se tromper inférieur à 1%) ?