Rappels de Statistique

class: center, middle, inverse, title-slide

.title[
# Rappels de Statistique
]
.author[
### FX Jollois
]
.date[
### BUT TC - 2ème année
]

---

## Qu'est-ce que la statistique ?

- Ensemble de méthodes permettant de décrire et d'analyser des observations (communément appelées **données** de nos jours)

- Utilisé maintenant dans tous les secteurs d'activités
  - Economie et finance : marketing, sondages...
  - Industrie : fiabilité, contrôle qualité...
  - Santé : recherche médicale, gestion des hôpitaux...
  - Environnement : prévisions climatiques et météorologiques, pollution...
  - Web : réseaux, publicité...
  - ...

- Essor important avec le développement des outils informatiques et du web

---

## Définitions de base

- **Population** : ensemble d'entités (personnes, objets...) étudiées

- **Individu** (ou *unité statistique*) : entité étudiée

- **Variable** : caractéristique étudiée sur chaque individu

- **Observation** : mesure

- **Série statistique** : série d'observations recueillies sur les individus

- **Tableau de données** : stockage de la série statistique
    - Individus croisant des variables 
    - Chaque ligne représente un individu
    - Chaque colonne représente une variable (ou attribut)
    - C'est ce qu'on fait classiquement dans un tableur de type Excel

---
## Données *diamants*

- Exemple utilisé dans ce document
- ~54000 diamants (10 premières lignes ici)

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> carat </th>
   <th style="text-align:left;"> cut </th>
   <th style="text-align:left;"> color </th>
   <th style="text-align:left;"> clarity </th>
   <th style="text-align:right;"> depth </th>
   <th style="text-align:right;"> table </th>
   <th style="text-align:right;"> price </th>
   <th style="text-align:right;"> x </th>
   <th style="text-align:right;"> y </th>
   <th style="text-align:right;"> z </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.30 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:left;"> VVS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 61.1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 57 </td>
   <td style="text-align:right;"> 684 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.35 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.65 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.34 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:left;"> VS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 61.9 </td>
   <td style="text-align:right;"> 55 </td>
   <td style="text-align:right;"> 596 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.49 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.53 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.79 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.43 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:left;"> VVS1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 62.3 </td>
   <td style="text-align:right;"> 55 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1358 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.85 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.88 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.03 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.42 </td>
   <td style="text-align:left;"> Very Good </td>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:left;"> VVS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 59.4 </td>
   <td style="text-align:right;"> 60 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1262 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.88 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.91 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.91 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.70 </td>
   <td style="text-align:left;"> Very Good </td>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:left;"> VS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 59.3 </td>
   <td style="text-align:right;"> 60 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2539 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.77 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.83 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.43 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 1.09 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:left;"> VS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 60.9 </td>
   <td style="text-align:right;"> 54 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7385 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.66 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.73 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.08 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 1.09 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> D </td>
   <td style="text-align:left;"> VS1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 62.3 </td>
   <td style="text-align:right;"> 56 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9650 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.63 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.59 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.12 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 1.15 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:left;"> VVS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 62.1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 55 </td>
   <td style="text-align:right;"> 8743 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.69 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.74 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.17 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.33 </td>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:left;"> VS2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 61.5 </td>
   <td style="text-align:right;"> 57 </td>
   <td style="text-align:right;"> 928 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.47 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.41 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.73 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 0.96 </td>
   <td style="text-align:left;"> Premium </td>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:left;"> SI2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 62.6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 60 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4113 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.26 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.94 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
## Recensement vs Sondage

2 méthodes de recueil de données

--
### Recensement

Etude de tous les individus d'une population

- Recueil exhaustif de toutes les informations sur toutes les entités
- Difficile à mettre en œuvre la plupart du temps

### Sondage

Etude d'une partie de la population pour extrapolation sur l'ensemble de la population

- Partie des individus étudiés = **échantillon**
- Représentativité de l'échantillon ?

---
## Type de variables

### Variable quantitative

- Caractéristiques numériques : opérations de type somme ayant un sens

### Continue

- Mesurable
- Ex : taille, poids, durée...

### Discrète

- Dénombrable ou mesurable en espace fini
- Ex : âge, quantité en stock...

---
## Type de variables

### Variable qualitative

- Caractéristiques non numériques : opérations de type somme n'ayant pas de sens
- Valeurs possibles : **Modalités** (ou catégories)

### Nominale

- Modalités n'ayant pas de lien entre elles (Ex : couleur des yeux, sexe...)
- Cas particulier *Binaire* : 2 valeurs possibles uniquement (Ex : oui/non, présence/absence...)
  
### Ordinale

- Modalités devant être triées dans un ordre spécifique (Ex : mois, sentiment...)

---
## Transformation de variable

### Quantitative en qualitative

- Courant de transformer une variable **quantitative** en variable **qualitative ordinale**
  - Ex : Catégorie d'âge, Nombre d'enfants du foyer, ...

- Différents problèmes se posent
  - Combien de modalités (*intervalles* ici) ? 
  - Taille identique des intervalles ou variable (*amplitude*) ?
  - Seuils des intervalles ?

---
## Transformation de variable

### Standardisation ou normalisation d'une variable quantitative

- Obligatoire pour l'utilisation de certaines méthodes statistiques

- 2 opérations sont réalisées :
  - Centrage : on retire la moyenne à chaque valeur
  - Réduction : on divise par la variance
$$
  x_{norm} = \frac{x - \bar{x}}{\sigma^2}
$$

---
## Premier problème : décrire les données

On parle de **Statistique descriptive** ou **exploratoire**

--
### Objectifs

- Résumer l'information contenue dans les données
- Faire ressortir des éléments intéressants
- Poser des hypothèses sur des phénomènes potentiellement existant dans les données

### Outils

- Description numérique (moyenne, occurrences, corrélation...)
- Description graphique (histogramme, diagramme en barres, nuage de points...)

---
## Variable quantitative

- Moyenne `$\bar{x}$`
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$

- Variance (et écart-type `$\sigma(x)$`)
$$
  \sigma^2(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
$$

---
## Variable quantitative

- Médiane `$med(x)$` : valeur permettant de séparer les observations ordonnées prises par `$x$` en 2 groupes de même taille
$$
med(x) = m | P(x \le m) = .5
$$
  - si `$n$` est impair : `$med(x) = x_{(n + 1) / 2}$`
  - si `$n$` est pair : `$med(x) = \frac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}$`

- Quantile `$q_p(x)$` : valeur pour laquelle une proportion `$p$` d'observations sont inférieures
$$
  q_p(x) = q | P(x \le q) = p
$$
  - Quartiles `$Q1$` et `$Q3$` : respectivement 25% et 75% (utilisés dans les boîtes à moustaches)
  - Quantiles usuels : `$.01$` (1%), `$.1$` (10%), `$.9$` (90%) et `$.99$` (99%)

---
## Variable quantitative

Exemple : prix des diamants

.pull-left[### Représentation numérique

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Statistique </th>
   <th style="text-align:right;"> Valeur </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Moyenne </td>
   <td style="text-align:right;"> 3932.80 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ecart-Type </td>
   <td style="text-align:right;"> 3989.44 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Variance </td>
   <td style="text-align:right;"> 15915629.42 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Médiane </td>
   <td style="text-align:right;"> 2401.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Minimum </td>
   <td style="text-align:right;"> 326.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Maximum </td>
   <td style="text-align:right;"> 18823.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[### A regarder aussi :

- Divergence moyenne et médiane 
  - Valeurs extrêmes présentes
  - Déséquilibre de la répartition des valeurs 
- Présence de valeurs aberrantes
  - On parle d'**outliers**
]

---
## Variable quantitative

### Représentation graphique

Histogramme

---
## Variable quantitative

### Représentation graphique

Boîte à moustaches

---
## Variable qualitative

### Nominale

- Modalités de la variable `$x$` : `$m_j$` (avec `$j=1,...,p$`)
- Effectif (ou occurrences) d'une modalité `$n_j$` : nombre d'individus ayant la modalité `$m_j$`
- Fréquence d'une modalité `$f_j$`
$$
f_j = \frac{n_j}{n}
$$

### Ordinale

- Effectif cumulé `$n_j^{cum}$` : nombre d'individus ayant une modalité entre `$n_1$` et `$n_j$`
- Fréquence cumulée

`$$n_j^{cum} = \sum_{k=1}^j n_k \mbox{ and } f_j^{cum} = \sum_{k=1}^j f_k$$`

---
## Variable qualitative

Exemple : Qualité de découpe (*ordinale* de plus)

### Représentation numérique

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Modalités </th>
   <th style="text-align:right;"> Effectifs </th>
   <th style="text-align:right;"> Effectifs cumulés </th>
   <th style="text-align:right;"> Fréquences </th>
   <th style="text-align:right;"> Fréquences cumulées </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;width: 5em; "> Fair </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 1610 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 1610 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.03 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;width: 5em; "> Good </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 4906 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 6516 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.09 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.12 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;width: 5em; "> Very Good </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 12082 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 18598 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.22 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.34 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;width: 5em; "> Premium </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 13791 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 32389 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.26 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.60 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;width: 5em; "> Ideal </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 21551 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 53940 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 0.40 </td>
   <td style="text-align:right;width: 5em; "> 1.00 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

### A regarder aussi :

.small[
- Différence entre les proportions 
- Si modalités peu fréquentes, regroupement de modalités à envisager
]

---
## Variable qualitative

### Représentation graphique

Diagramme en barres

---
## Quantitative vs quantitative

- Covariance
$$
  cov(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
$$
  - Problème : non bornée et donc non exploitable

- Coefficient de corrélation linéaire (de *Pearson*)
$$
  \rho(x,y) = \frac{cov(x,y)}{\sigma^2(x) \sigma^2(y)}
$$
  - Covariance des variables normalisées
  - Valeurs comprises entre -1 et 1
    - `$0$` : pas de lien linéaire (autre type de lien possible)
    - `$1$` : lien positif fort (si `$x$` augmente, `$y$` augmente)
    - `$-1$` : lien négatif fort (si `$x$` augmente, `$y$` diminue)

---
## Quantitative vs quantitative

Exemple : Prix et Carat

### Représentation numérique

### A regarder aussi :

- Présence d'**outliers** avec un comportement atypique

---
## Quantitative vs quantitative

### Représentation graphique 
Nuage de points

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## Anscombe

La visualisation est aussi importante (voire plus) que la représentation numérique !

Entre ces quatres séries :

- même moyenne et même variance pour `$x$` et `$y$`
- même coefficient de corrélation entre les deux

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:right;"> 1 </th>
   <th style="text-align:right;"> 2 </th>
   <th style="text-align:right;"> 3 </th>
   <th style="text-align:right;"> 4 </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Moyenne(x) </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 9.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Moyenne(y) </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 7.50 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ecart-type(x) </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.32 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ecart-type(y) </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2.03 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Covariance </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 5.50 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Corrélation </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.82 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
## Anscombe

---
## Qualitative vs qualitative

- Table de contingence
  - Croisement des 2 ensembles de modalités, avec le nombre d'individus ayant chaque couple de modalités
  - `$n_{ij}$` : Nombre d'observations ayant la modalité `$i$` pour `$x$` et `$j$` pour `$y$`
  - `$n_{i.}$` : Effectif marginal (nombre d'observations ayant la modalité `$i$` pour `$x$`)
  - `$n_{.j}$` : Effectif marginal (nombre d'observations ayant la modalité `$j$` pour `$y$`)

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:left;"> 1 </th>
   <th style="text-align:left;"> ... </th>
   <th style="text-align:left;"> j </th>
   <th style="text-align:left;"> ... </th>
   <th style="text-align:left;"> l </th>
   <th style="text-align:left;"> total </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1 </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> ... </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> i </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> n_ij </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> n_i. </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> ... </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> k </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> total </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> n_.j </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:left;"> n_.. = n </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
## Qualitative vs qualitative

- Profils lignes et colonnes
  - Distribution d'une variable conditionnellement aux modalités de l'autre
  - Pour une ligne `$i$` : `$\frac{n_{ij}}{n_{i.}}$`
  - Pour une colonne `$j$` : `$\frac{n_{ij}}{n_{.j}}$`

---
## Qualitative vs qualitative

Exemple : Qualité et couleur

.pull-left[### Représentation numérique

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> color </th>
   <th style="text-align:right;"> Fair </th>
   <th style="text-align:right;"> Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Very Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Premium </th>
   <th style="text-align:right;"> Ideal </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> D </td>
   <td style="text-align:right;"> 163 </td>
   <td style="text-align:right;"> 662 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1513 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1603 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2834 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:right;"> 224 </td>
   <td style="text-align:right;"> 933 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2400 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2337 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3903 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:right;"> 312 </td>
   <td style="text-align:right;"> 909 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2164 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2331 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3826 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:right;"> 314 </td>
   <td style="text-align:right;"> 871 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2299 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2924 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4884 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> H </td>
   <td style="text-align:right;"> 303 </td>
   <td style="text-align:right;"> 702 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1824 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2360 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3115 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> I </td>
   <td style="text-align:right;"> 175 </td>
   <td style="text-align:right;"> 522 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1204 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1428 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2093 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> J </td>
   <td style="text-align:right;"> 119 </td>
   <td style="text-align:right;"> 307 </td>
   <td style="text-align:right;"> 678 </td>
   <td style="text-align:right;"> 808 </td>
   <td style="text-align:right;"> 896 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[### A regarder aussi :

- Couple de modalités très peu pris
- Ici aussi, regroupement de modalités à envisager éventuellement
]

---
## Qualitative vs qualitative

### Représentation graphique

---
## Qualitative vs qualitative

### Représentation graphique

---
## Qualitative vs qualitative

Exemple : Qualité et couleur

### Représentation numérique

Profils colonnes ici (sommes en colonnes = 100%)

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> color </th>
   <th style="text-align:right;"> Fair </th>
   <th style="text-align:right;"> Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Very Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Premium </th>
   <th style="text-align:right;"> Ideal </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> D </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.13 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.13 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.12 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.13 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.14 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.20 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.17 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.18 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.18 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.17 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.18 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.20 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.18 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.21 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.23 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> H </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.19 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.14 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.15 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.17 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.14 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> I </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> J </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.07 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.06 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.06 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.06 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
## Qualitative vs qualitative

### Représentation graphique

Profils colonnes

---
## Qualitative vs qualitative

Exemple : Qualité et couleur

### Représentation numérique

Profils lignes ici (sommes en lignes = 100%)

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> color </th>
   <th style="text-align:right;"> Fair </th>
   <th style="text-align:right;"> Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Very Good </th>
   <th style="text-align:right;"> Premium </th>
   <th style="text-align:right;"> Ideal </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> D </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.42 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> E </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.02 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.40 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> F </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.23 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.40 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> G </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.08 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.20 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.26 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.43 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> H </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.08 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.28 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.38 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> I </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.03 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.22 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.26 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.39 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> J </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.04 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.11 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.24 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.29 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.32 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---
## Qualitative vs qualitative

### Représentation graphique

Profils lignes

---
## Qualitative vs quantitative

- Soit `$Y$` la variable qualitative à `$m$` modalités, et `$X$` la variable quantitative
- Sous-populations déterminées par les modalités de `$Y$`
- Indicateurs calculés pour chaque modalité k

`$$\bar{x_j} = \frac{1}{n_j} \sum_{i | y_i = j} x_i$$`

`$$\sigma^2(x_j) = \frac{1}{n_j} \sum {}_{i | y_i = j} (x_i - \bar{x_j})^2$$`

---
## Qualitative vs quantitative

Exemple : Qualité et prix

.pull-left[### Représentation numérique

<table class="table" style="margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> cut </th>
   <th style="text-align:right;"> Moyenne </th>
   <th style="text-align:right;"> Ecart-type </th>
   <th style="text-align:right;"> Médiane </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Fair </td>
   <td style="text-align:right;"> 4358.76 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3560.39 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3282.0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Good </td>
   <td style="text-align:right;"> 3928.86 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3681.59 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3050.5 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Very Good </td>
   <td style="text-align:right;"> 3981.76 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3935.86 </td>
   <td style="text-align:right;"> 2648.0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Premium </td>
   <td style="text-align:right;"> 4584.26 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4349.20 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3185.0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ideal </td>
   <td style="text-align:right;"> 3457.54 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3808.40 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1810.0 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[### A regarder aussi :

- Outliers
]

---
## Qualitative vs quantitative

### Représentation graphique 
Boîte à moustaches

---
## Deuxième problème : Extrapoler à partir de données

On parle alors de **statistique inférentielle**

### Cadre

- Données issues d'un échantillon d'une population
- Modèle probabiliste sur la population 
- Méthodes d'échantillonnage pour choisir au mieux l'échantillon

### Objectifs

- Etendre les conclusions faites sur l'échantillon à toute la population
- Valider des hypothèses faites sur la population en analysant l'échantillon

### Outils

- Estimation : approximer des paramètres de la population
- Test : valider les hypothèses
- Modélisation : rechercher des liens entre variables