ACP - exemple en visualisation de données

Données

Nous allons utiliser ici des données un peu particulière, disponibles ici. Elles représentent 10992 écritures d’un chiffre (entre 0 et 9), chaque tracé étant représenté par 8 points (coordonnées \((x,y)\), homogénéisées entre 0 et 100) et donc le chiffre écrit (voir les exemples ci-dessous pour plus de compréhension).

X1	Y1	X2	Y2	X3	Y3	X4	Y4	X5	Y5	X6	Y6	X7	Y7	X8	Y8	chiffre
47	100	27	81	57	37	26	0	0	23	56	53	100	90	40	98	8
0	89	27	100	42	75	29	45	15	15	37	0	69	2	100	6	2
0	57	31	68	72	90	100	100	76	75	50	51	28	25	16	0	1
0	100	7	92	5	68	19	45	86	34	100	45	74	23	67	0	4
0	67	49	83	100	100	81	80	60	60	40	40	33	20	47	0	1
100	100	88	99	49	74	17	47	0	16	37	0	73	16	20	20	6

Tracé d’un chiffre

Puisque les données s’y prêtent très bien, nous allons représenter les tracés du premier exemple de chaque chiffre. On remarque que le 5 et le 7 sont peu reconnaissables.

Comme il n’est pas envisageable de le faire pour chaque exemple, et pour visualiser un peu mieux, nous allons représenter le chiffre moyen (i.e. les coordonnées moyennes de chaque point, pour chaque chiffre - voir ci-dessous). Ici, on remarque des effets étonnants sur certains chiffres (5 et 7 encore, ainsi que 8 et 9).

Visualisation via l’ACP

ACP centrée

Une méthode directement applicable ici et bien utile est l’Analyse en Composantes Principales (ou ACP), qui permet de projeter un espace à \(d\) dimensions dans un sous-espace de moindre dimensions (idéalement 2 ou 3), en minimisant la perte d’informations (i.e. l’inertie). Nous utilisons ici le package FactoMineR (cf site web). On remarque que certains chiffres sont concentrés dans un zone restreinte, alors que d’autres sont plus volatiles.

Pour mieux voir ce qu’il se passe pour chaque chiffre, nous allons représenter les points de chaque chiffre séparément (cf ci-dessous). On remarque visuellement que le 2, le 3 et le 6 (ainsi que le 4 et le 9) sont localisés dans une zone assez restreinte. Par contre, le 5, le 7 et le 8 sont clairement très éparpillés, avec même deux groupes distincts pour le 5. On est donc en droit de se demande s’il existe des classes pour chaque chiffre.

ACP normée

Sur cet exemple, nous pouvons aussi appliquer une ACP normée, i.e sur les données réduites.

Si on utilise la même technique que précédemment, nous avons sensiblement les mêmes conclusions sur la répartition des tracés de chaque chiffre.