Lien vers émulateur calculatrice scientifique

Rappels

Moyenne

Soit \(X\) une v.a. mesurant un indicateur sur \(n\) individus d’un échantillon, on peut estimer la moyenne \(\mu\) de la population grâce avec \(\hat{\mu}\) moyenne de l’échantillon : \[ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \] où les \(x_i\) sont les valeurs prises pour les \(n\) individus de l’échantillon.

Lorsque \(n\) est grand (supérieur à 30), on peut définir un intervalle de confiance avec une probabilité \(\alpha\) avec la formule suivante : \[ \left[ \hat{\mu} - u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} ; \hat{\mu} + u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \right] \] où \(s^2\) est la variance calculée sur l’échantillon (\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \hat{\mu})^2\)) et \(u_{\alpha/2}\) représente la valeur dans la table de la loi Normale centrée-réduite telle que \(P(X > u_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2}\)).

Proportion

Soit \(X\) une v.a. mesurant l’apparition d’une propriété pour \(n\) individus, on a \(\hat{p}\) l’estimateur de la proportion dans le population égal à : \[ \hat{p} = \frac{k}{n} \] où \(k\) est le nombre d’individus ayant la propriété dans l’échantillon.

Lorsque \(n\) est grand (supérieur à 30), et \(p\) compris dans l’intervalle \([0.1, 0.9]\), on peut définir un intervalle de confiance avec une probabilité \(\alpha\) comme suit : \[ \left[ \hat{p} - u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}; \hat{p} + u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} \right] \] où \(u_{\alpha/2}\) représente la valeur dans la table de la loi Normale centrée-réduite telle que \(P(X > u_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2}\)).

Table de la loi Normale

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0,1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0,2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0,3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0,4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0,5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0,6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0,7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0,8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0,9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1,1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1,2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1,3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1,4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1,5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1,6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1,7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
1,8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
1,9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2,1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
2,2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
2,3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
2,4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

Exercice 1 - Âge moyen des clients

Une entreprise souhaite connaître l’âge de ces clients. Pour cela, elle réalise un sondage sur \(120\) personnes. Sur cet échantillon, on obtient un âge moyen de \(35.0\) et une variance de \(15.08\).

  • On souhaite avoir un intervalle de confiance de la moyenne des clients à \(95\%\). Quel est-il ?
  • Et à \(90\%\) ?

Exercice 2 - Gauchers dans la population

On cherche à connaître le nombre de gaucher dans la population. On étudie un échantillon de \(300\) personnes, dans lequel nous observons \(15\%\) de gauchers.

  • Donner un intervalle de confiance de la proportion de gauchers dans la population à \(95\%\)
  • Idem, mais à \(92\%\)

Exercice 3 - Poids des bébés à la naissance

Un hôpital fait une étude sur le poids des bébés à la naissance. Lors du mois écoulé, le poids moyen des \(49\) enfants nés a été de \(3.55 kg\) et une variance de \(0.32\).

  • Déterminer les intervalles de confiance à \(90\%\), \(95\%\) et \(99\%\).
  • Une précédente étude avait conclus à un poids moyen à la naissance de \(3.4 kg\). Que peut-on dire ?

Exercice 4 - Prix du menu au restaurant

Le gérant d’une brasserie souhaite faire passer le prix du menu à \(15.90€\). Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les \(50\) personnes interrogées, \(39\) se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.

  • Quelle est la proportion de personnes qui estiment la hausse raisonnable ?
  • Le gérant a posé comme condition, pour augmenter le prix, qu’il y ait plus de \(60\%\) des clients favorables à ce changement. Déterminer l’intervalle de confiance de la proportion à \(95\%\). Qu’en déduira le gérant ? Et s’il avait dit qu’il fallait plus de \(70\%\) ?

Exercice 5 - Circuits électroniques

Nous souhaitons estimer un intervalle de confiance du gain d’un circuit électronique. On admet que le gain est distribué selon une loi normale d’espérance inconnue \(\mu\) et d’écart-type connu \(\sigma=20\).Quelle doit être la taille de l’échantillon \(n\) pour que la longueur de l’intervalle de confiance à \(95\%\) soit égale à 4 ?

On compare deux circuits électroniques, dont on veut savoir si le gain est identique entre les deux. Nous réalisons 500 mesures pour chacun des circuits, et obtenons les moyennes (\(m_i\)) et écarts-type (\(s_i\)) suivants :

  • \(m_1 = 15.1\) et \(s_1 = 4.5\)
  • \(m_2 = 15.9\) et \(s_2 = 4.4\)

Peut-on dire qu’il y a une différence entre les deux avec un seuil de confiance à \(90%\) ? et à \(95\%\) ?

Exercice 6 - Référendum

On prévoit de réaliser un référendum. On sait que la réponse Oui se situe autour de \(50\%\). On se demande donc combien de personnes faudrait-il interroger pour que la proportion de Oui soit connue à \(1\%\) près (en plus ou en moins).

Lors de la réalisation de ce sondage, finalement pratiqué sur \(1000\) personnes, nous avons obtenu \(55\%\) pour le Oui et \(45\%\) pour le Non. Peut-on prévoir le résultat du référendum, avec un taux de confiance de \(95\%\) ?