Exercice 1 - Âge moyen des clients

Une entreprise souhaite connaître l’âge de ces clients. Pour cela, elle réalise un sondage sur \(120\) personnes. Sur cet échantillon, on obtient un âge moyen de \(35.0\) et une variance de \(15.08\).

Solution

## Intervalle de confiance à 5% : [34.31; 35.69]
## Intervalle de confiance à 10% : [34.42; 35.58]

Exercice 2 - Gauchers dans la population

On cherche à connaître le nombre de gaucher dans la population. On étudie un échantillon de \(300\) personnes, dans lequel nous observons \(15\%\) de gauchers.

Solution

## Intervalle de confiance à 5% : [0.11; 0.19]
## Intervalle de confiance à 8% : [0.114; 0.186]

Exercice 3 - Poids des bébés à la naissance

Un hôpital fait une étude sur le poids des bébés à la naissance. Lors du mois écoulé, le poids moyen des \(49\) enfants nés a été de \(3.55 kg\) et une variance de \(0.32\).

Solution

## Intervalle de confiance à 10% : [3.42; 3.68]
## Intervalle de confiance à 5% : [3.39; 3.71]
## Intervalle de confiance à 1% : [3.34; 3.76]

En prenant un risque à 10%, on conclue que le poids a changé entre les deux études. alors qu’avec un risque à 5% ou 1%, on conclue que rien n’a changé.

Exercice 4 - Prix du menu au restaurant

Le gérant d’une brasserie souhaite faire passer le prix du menu à \(15.90€\). Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les \(50\) personnes interrogées, \(39\) se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.

Solution

Il y a donc une proportion de 78 % de clients qui sont OK pour payer plus cher.

## Intervalle de confiance à 5% : [0.67; 0.89]

Selon l’intervalle de confiance obtenu, il y a de très fortes chances qu’il y ait plus de \(60\%\) des clients favorables. Le gérant peut donc augmenter son tarif.

Par contre, il y a un risque que la proportion soit inférieur à \(70\%\). Si le gérant pose ceci comme limite, il ne pourra donc pas conclure à l’augmentation de son tarif.

Exercice 5 - Circuits électroniques

Nous souhaitons estimer un intervalle de confiance du gain d’un circuit électronique. On admet que le gain est distribué selon une loi normale d’espérance inconnue \(\mu\) et d’écart-type connu \(\sigma=20\). Quelle doit être la taille de l’échantillon \(n\) pour que la longueur de l’intervalle de confiance à \(95\%\) soit égale à 4 ?

On compare deux circuits électroniques, dont on veut savoir si le gain est identique entre les deux. Nous réalisons 500 mesures pour chacun des circuits, et obtenons les moyennes (\(m_i\)) et écarts-type (\(s_i\)) suivants :

Peut-on dire qu’il y a une différence entre les deux avec un seuil de confiance à \(90%\) ? et à \(95\%\) ?

Solution

Pour rappel, voici la formule de l’intervalle de confiance :

\[ \left[ \hat{\mu} - u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} ; \hat{\mu} + u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \right] \]

Pour que la longueur de l’intervalle soit égale à 4, il faut que le terme \(u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\) soit égal à 2.

\[\begin{align*} u_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} &= 2 \\ \sqrt{\frac{s^2}{n}} &= \frac{2}{u_{\alpha/2}} \\ \frac{s^2}{n} &= \left( \frac{2}{u_{\alpha/2}} \right )^2 \\ \frac{s^2}{n} &= \frac{4}{(u_{\alpha/2})^2}\\ \frac{n}{s^2} &= \frac{(u_{\alpha/2})^2}{4}\\ n &= \frac{s^2 (u_{\alpha/2})^2}{4}\\ n &= \frac{20^2 * 1.96^2}{4}\\ n &= \sim 384 \end{align*}\]

Il faut donc 384 mesures pour avoir un intervalle de longueur 4.