Que veut-on faire ?

• Décrire et/ou résumer l’information contenue dans les données
  • Sans formuler d’hypothèses au préalable
• Tableau individus \(\times\) variables continues
  • On connaît : ACP
• Table de contingence de deux variables
  • On connaît : AFC
• Tableau individus \(\times\) variables qualitatives
  • ACM

Problème et objectifs

• Visualiser les ressemblances entre les modalités d’une même variable
• Exploiter les ressources de la représentation simultanée pour analyser les liens entre plusieurs variables

Tableau de Burt

Décompte des présences conjointes des modalités des variables

Principe

Utiliser le tableau disjonctif complet comme une table de contingence particulière

• Totaux en ligne, identiques et égaux au nombre de variables
• Totaux en colonne, correspondant au nombre d’individus ayant chaque modalité
• Réalisation de l’ACP avec la métrique du \(\chi^2\) comme pour l’AFC

Utiliser le tableau de Burt

• Réalisation de l’AFC directement sur ce tableau

Dans tous les cas

Interprétation longue et délicate

Informations

• Nombre de valeurs propres = \(m - p\)
  • \(m\) : nombre de modalités
  • \(p\) : nombre de variables
• Somme des valeurs propres = \((m - p) / p\)
• Caractéristique de l’ACM :
  • faible part de variance expliquée sur les premiers axes
• Choix du nombre de valeurs propres :
  • au moins 5
  • généralement la moitié des axes
  • recherche d’un palier important de la part de variance expliquée

Modalités rares

Modalités avec un effectif faible : \(< 2\%\) (par exemple)

• Problème :
  • poids importants dans le calcul
  • axes fortement influencés par elles
  • analyse faussée
• Solution :
  • regrouper avec d’autres modalités, si cela a du sens
  • les exclure du calcul
  • dans certains outils, on parle d’apurement
    • ventilation aléatoire des effectifs dans les autres modalités

Interprétation

Contributions

• Idem que l’ACP et l’AFC
• Recherche des modalités avec une contribution \(> \frac{100}{m}\)

Qualité de représentation

Idem que pour l’ACP.

Variables supplémentaires

Possibilité d’ajouter des variables qualitatives et quantitatives illustratives

Exemple simple

Etude sur des enfants dans une école primaire, ayant subi une intoxication alimentaire.

Variables

• 2 variables quantitatives : Age, Time
• 1 variable cible : Sick
• 1 variable qualitative informative : Sex
• 5 variables binaires sur les symptômes : Nausea, Vomiting, Abdominals, Fever, Diarrhae
• 6 variables binaires sur les aliments consommés : Potato, Fish, Mayo, Courgette, Cheese, Icecream

##       Age             Time       Sick   Sex    Nausea Vomiting Abdominals
##  Min.   : 4.00   Min.   : 0.00   n:17   F:28   n:43   n:33     n:18      
##  1st Qu.: 6.00   1st Qu.: 0.00   y:38   M:27   y:12   y:22     y:37      
##  Median : 8.00   Median :12.00                                           
##  Mean   :16.93   Mean   :10.16                                           
##  3rd Qu.:10.00   3rd Qu.:16.50                                           
##  Max.   :88.00   Max.   :22.00                                           
##  Fever  Diarrhae Potato Fish   Mayo   Courgette Cheese Icecream
##  n:20   n:20     n: 3   n: 1   n:10   n: 5      n: 7   n: 4    
##  y:35   y:35     y:52   y:54   y:45   y:50      y:48   y:51    
##                                                                
##                                                                
##                                                                
## 

A noter : 1 modalité rare (Fish == "n")

Part de la variance expliquée

Part de la variance expliquée

Représentation graphique

Représentation conjointe

Représentation de chaque variable séparemment

Représentation des variables

En gardant 5 axes

Ce qui implique 20 graphiques…

Modalités importantes (contributions)

Individus importants (contributions)

Variables supplémentaires

Avec modalité rare

2 possibilités :

• on fixe les modalités à exclure (par exemple Fish == n)
• on fixe un seuil de ventilation (par exemple 2%)

Dans notre cas, nous avons une modalité rare pour une variable à 2 modalités. L’exclure n’est pas utile, il est préférable de placer la variable Fish en illustrative.

Qu’est-ce que ca change ?

Part de la variance expliquée

Les 5 premiers axes

Variables supplémentaires